虚数看似不存在，却解锁数学新天地，简化三角、微积分，还助力信号处理和图像压缩，是工程师的秘密武器。

对数学门外汉来说，接受“i”代表一个“虚构”的数字，着实让人摸不着头脑。毕竟，i 是负1的平方根，听着就像天方夜谭。可如果你愿意敞开心扉，就会发现一个全新的世界在你眼前展开。我是个研究分析的数学家，专攻复数。跟大家熟悉的实数——正负整数、分數、平方根、立方根，甚至π不一样，复数里有个“虚”的部分，也就是实数加上那个神秘的 i。

想知道 i 有多怪吗？平方根是指某个数的平方等于原数。正数乘自己是正数，负数乘自己也是正数，可 i 偏偏是个奇葩，乘自己居然得出负数。每次跟非数学迷聊到虚数，总有人跳出来说：“这些数真的存在吗？”别觉得自己孤单，连数学大咖都曾对复数皱眉头。比如，1545年 Girolamo Cardano 在《大术》一书中聊到复数时，嫌它们“微妙却无用”。就连大神 Leonhard Euler 都算错过，把 √(-2) × √(-3) 当成 √6，其实答案是 -√6。

还记得高中学的二次方程公式吗？那是为了解未知数平方的方程设计的。公式里有个根号下的表达式 (b² - 4ac)，如果结果是负数，老师可能就含糊带过，说“大学再学吧”。可要是你敢相信负数的平方根是存在的，就能解开一大堆新方程。不仅如此，一个神奇又实用的数学世界——复分析，就这么向你招手。

相信复数有什么回报呢？首先，三角学变得轻松多了。不用死记硬背一堆复杂公式，1740年欧拉甩出一个公式就全搞定。只要有点代数功底，玩转它就能轻松算出三角形的边长和角度，连课本上的标准公式都显得多余。微积分也简单不少。Roger Cotes、René Descartes(就是他给“虚数”取的名)这些前辈发现，复数能让看似无解的积分变得小菜一碟，还能算出复杂曲线下面的面积。

复数还不止于此。Jean-Robert Argand 和 Carl Friedrich Gauss 指出，用它还能玩转几何，搞定用尺规画出的五边形、八边形等图形。到了现实世界，复分析更是大放异彩。Rafael Bombelli 想出对复数做加减乘除，打开了用微积分处理它们的大门。这下，物理学家研究信号和数据传输就顺手多了。比如，处理小波(数据里的小波动)全靠复分析。卫星信号杂音太多？它能清理干净。图片占内存太大？它帮你压缩。

工程师也爱它。复杂的电学、流体力学问题，复分析能化繁为简。比如研究奇形怪状结构的电性或液体流动，靠它就能把难题拆解得明明白白。后来，像 Karl Weierstrass、Augustin-Louis Cauchy、Bernhard Riemann 这些大师习惯了复数，索性把复分析发扬光大，造出个既简化数学、推动科学，还让人更好懂的利器。

本文译自 ScienceAlert，由 BALI 编辑发布。