题主提到的 Conway 常数应该是最著名的一个例子，指外观数列相邻项的长度比值的极限，不过 Conway 能发现 71 次方程确实过于生草……
作为补充，我介绍两个有趣且直观的例子[1]。
考虑余弦函数级数：
C(\theta , a ,n) = \frac{1}{1+a} + \sum_{k=1}^n \frac{\cos k\theta}{k+a}，\\其中 0\leq\theta\leq \pi ， n 是一个正整数，请问 a 在什么范围内满足 C(\theta,a,n) \geq 0 ？
Rogosinski 和 Szegö 证明了存在一个最优上界 A [2]，使得 -1 时， C(n,a,\theta) \geq 0 恒成立。而 Gasper 给出了 A 的具体结果[3]， A = 4.5678018826 \dots ，它是一个代数数，极小多项式是一个 7 次的：
9x^7 + 55x^6 - 14x^5 - 948 x^4 -3247x^3 -5013 x^2 -3780 x- 1134.\\一个类似的问题是正弦函数级数：
S(\theta,b,n) = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{\sin k\theta}{k+b},\\其中 0<\theta<\pi ， n 是一个正整数，请问 b 在什么范围内满足 S(\theta,b,n)>0 ？
Brown 和 Wang 证明了存在一个最优上界 B [4]，使得 -1 ，且对于任意奇数 n ，都有 S(\theta,b,n)>0 ，对于偶数 n 情况比较复杂我们这里不做讨论，其中 B =2.1102339661\dots ，它是以下方程的解：
(1+\lambda)\pi\left[(B-1) \psi\left(1+ \dfrac{B-1}{2}\right) - 2B \psi \left( 1+ \dfrac{B}{2} \right) + (B+1)\psi \left( 1+ \dfrac{B+1}{2} \right) \right] = 2\sin(\lambda \pi).\\其中 \psi(x) 是 digamma 函数，而 \lambda = 0.4302966531\dots 是方程 (1+\lambda )\pi = \tan(\lambda \pi) 的解。
但是 B 是代数数吗？这至今都未能确定。
假设我们有 N 个半径为 r(N) 的小圆，现在我们想要让它完全覆盖住一个半径为 R=1 的单位圆，请问：小圆半径的最小值是多少？
首先从直觉上来说，覆盖单位圆意味着它的所有边界也要被小圆覆盖。因此单位圆里圆心角 2\pi/N 的圆弧需要半径至少为 \sin(\pi/N) 的小圆来覆盖，这样我们就轻松找到了 r(N) 的一个下界，即 r(N)\geq \sin(\pi /N) ，如果你画画图就能发现我们已经解决了 N=1,2,3,4 的情况：
注意，我们没有从数学上严格证明上述覆盖方式的最优性
可能你以为对于其他 N 也能顺理推出来 r(N) 的最小值，但事情远远没有这么简单。这个问题实际上是一个相当复杂的离散组合优化问题，目前没有通解，对于 N 较大的情况一般是通过计算机搜寻来找到 r(N) 可能的下界。
N=5 就是第一个非平凡的例子，对应的 r(5) = 0.6093828640\dots
解析地来看， r(5) = \cos(\theta + \varphi/2) ，其中 \theta,\varphi 是下列四个复杂的非线性方程的解：
\begin{cases}2\sin \theta - \sin(\theta + \frac{1}{2}\varphi + \psi) - \sin(\psi -\theta - \frac{1}{2} \varphi) =0, \\[.2cm] 2\sin\varphi - \sin(\theta + \frac{1}{2} \varphi + \chi) - \sin(\chi - \theta - \frac{1}{2} \varphi) = 0,\\[.2cm] 2\sin \theta + \sin(\chi + \theta) - \sin(\chi - \theta) - \sin(\psi +\varphi ) - \sin(\psi - \varphi)\\[.2cm] \qquad\qquad - 2\sin(\psi - 2\theta) =0,\\[.2cm] \cos(2\psi - \chi +\varphi) - \cos(2\psi +\chi-\varphi) - 2\cos \chi + \cos(2\psi + \chi -2\theta) \\[.2cm]\qquad \qquad+\cos(2\psi - \chi -2\theta)=0.\end{cases} \\不过发现它的 r(5) 的作者 Neville 就意识到它应该是个代数数但没能给出证明[5]。Bezdek 提供了另一种不同的表述[6]， 1/r(5) 是以下多项式的最大实根：
a(y) x^6 -b(y) x^5 + c(y) x^4 - d(y)x^3 +e(y)x^2 - f(y)x +g(y),\\在所有 y 中取最大值，前提是满足约束条件 \sqrt{2} < x<2y+1, -1<>，其中：
\begin{align} \begin{cases} a(y) = 80y^2 +64 y,\\[.2cm] b(y) = 416y^3 +384y^2 +64y,\\[.2cm] c(y) = 848y^4 + 928y^3 + 352 y^2 +32 y,\\[.2cm] d(y) = 768y^5 + 992y^4 + 736y^3 + 288y^2 + 96 y,\\[.2cm] e(y) = 256y^6 + 384y^5 + 592 y^4 + 480y^3 + 336y^2 + 96y + 16,\\[.2cm] f(y) = 128y^5 + 192y^4 + 256y^3 + 160y^2 + 96y+32,\\[.2cm] g(y) = 64y^2 + 64y +16. \end{cases} \end{align}\\
那么 r(5) 的代数性就比较显然了，而 Melissen 和 Zimmermann 直接给出了 r(5) 的极小多项式[7][8]：
1296x^8 + 2112 x^7 - 3480 x^6 + 1360x^5 + 1665 x^4 - 1776 x^3 + 22x^2 -800 x + 625.\\对于 N=6 的情况也并不容易， r(6) = 0.5559052114\dots ，它的极小多项式是达到 18 次：
\begin{gather} 7841367 x^{18} - 3344997 x^{16} + 62607492 x^{14} - 63156942 x^{12} + 41451480x^{10}\\[.2cm] -19376280x^8 + 5156603x^6 -746832x^4 + 54016x^2 + 3072. \end{gather}\\对于 N>10 的情况仍是一个 open problem，目前大多是依赖于计算机模拟来给出一个可能下界的数值结果。
和圆相关的还有两个著名的问题。
第一个是 Mrs. Miniver 问题：
两个大小相同的单位圆部分重叠，当重叠部分的面积（见下图白色部分）和其余部分的面积（见下图阴影部分）相同时，两个圆之间的圆心距 2u 是多少？
实际计算并不复杂， u = 0.2649320846\dots ，它满足 u\sqrt{1-u^2} + \arcsin u = \dfrac{\pi}{6} 。
但并不知道 u 是否是代数数。
第二个是山羊放牧问题：
如下图所示，山羊 Q 被限制在半径为 r 的区域移动，请问 r 为多少时，它能吃到单位圆草地（圆心为 P ）内一半的草？
结果是 r = 1.1587284730\dots ，它满足 r\sqrt{4-r^2} - 2(r^2 -2 )\arccos\left (\dfrac{r}{2}\right) = \pi 。
但同样也不能确定 r 是否是代数数。