伊辛模型，今年正好是它诞生的 100 周年。

虽然严格来说伊辛模型是一个物理模型，但问题毕竟打了「物理学」的 tag。

水的相变是我们最熟悉的物理现象之一：在标准大气压下，当温度从零下升高到 0℃ 时，冰会熔化成水；当温度继续升高至 100℃ 时，水便汽化成水蒸气。这些现象都是物理学里的相变（phase transition）过程，对于相变的研究一直是物理学领域的重要课题，例如磁性材料的铁磁-顺磁相变、超导体在低温下的超导转变等。

相变理论的发展大概经历了三个阶段：平均场 -> 统计物理 -> 重整化群。而近十几年来，超越朗道相变范式的量子相（例如拓扑序、对称保护拓扑序等）也打开了凝聚态物理和高能物理领域研究的新窗口，对于这些新奇物态之间的相变研究也一直在进行中，例如 anyon condensation。

而伊辛模型（Ising model）就是一个用来研究相变问题最简单但又极具代表性的模型。

1920 年，德国物理学家楞次（Lenz，你或许听说过拉普拉斯-隆格-楞次矢量）提出了一个模型，用以描述磁性材料的行为，让他的学生伊辛研究，随着温度的变化，这一模型是否存在相变现象。伊辛模型描述了一组位于格点上的自旋，每个自旋取值为 +1 或 -1 ，它们之间通过最近邻相互作用进行耦合，系统的哈密顿量是：

H = -J \sum_{\langle i,j \rangle} s_i s_j - h \sum_{i}s_i,\\其中 h 代表外加磁场。

伊辛在他一篇 1925 年的论文中得到了一维伊辛模型的严格解，结果表明在一维情况下不存在相变。因此，伊辛武断地认为在二维情况下，这一模型也不会发生改变，并放弃了进一步研究。此后 10 余年，伊辛模型几乎无人问津。

1936 年派尔斯（Peierls）证明了二维伊辛模型确实有相变，伊辛的推测是错误的。1944 年，昂萨格（Onsager）严格求解了在没有磁场的情况下方格子的二维伊辛模型。在有磁场的情况下二维伊辛模型没有严格解存在，1949 年昂萨格首先猜到了自发磁化，1952 年杨振宁推导出了自发磁化的确切表达式，证实了昂萨格的猜测。接下来，很多人开始寻找三维伊辛模型的严格解，但至今都没有成功，目前的工作大多是数值上的进展。

关于伊辛模型的严格求解，现在已经写入了《量子统计物理》的教科书，感兴趣的同学可以自己翻阅，这里就不抄书了。

如果仅仅是一个模型被求解，这或许并不稀奇。但伊辛模型的影响早已超越了磁性系统，它的足迹可以说遍布现代凝聚态物理和高能物理领域，例如：

1. 1 维的量子 Ising model 可以 map 到 2 维的经典 Ising model。
2. 2 维的 Ising model 有相变，它的临界点理论和 minimal model \mathcal{M}(4,3) 等价，中心荷为 c=1/2 ^[1]。 \mathcal{M}(4,3) 只有三个 primary field，记为 \mathbb{I},\sigma,\psi ，它们的 fusion rule 是： \sigma \times \sigma = \mathbb{I} + \psi , \sigma\times \psi = \sigma , \psi\times \psi=\mathbb{I} ，而这其实就是 Ising anyon 所满足的 fusion rules，由于 \sigma 是非阿贝尔任意子，可以用于拓扑量子计算，尤其是可以用于描述马约拉纳零模（在此点名批评某公司发布的 Majorana 1 量子芯片）。
3. 2 维的外磁场中的 toric code 可以 map 3 维的 Ising model with plaquette interactions^[2]。
4. 2 维的 noisy toric code 可以 map 到经典的 random bond Ising model，通过分析统计力学模型的临界点就可以确定纠错码的 error threshold^[3]。
5. 玻尔兹曼机、Hopfield 网络的全局能量 E = -\left(\displaystyle{\sum_{i 和 Ising model 相同，可以说神经网络（2024 年诺贝尔物理学奖）和统计力学有密切联系，这部分内容的解读可以阅读王磊、张潘老师的今年 1 月的科普文章^[4]。
6. 甚至 Ising model 在很多超出了物理学范畴的领域里也有所应用，例如金融数学、NP 优化问题等^[5]。
7. ……and so on