今天分享 Stein 实分析书上的一道习题．
题目来源： Stein-Shakarchi, Real Analysis, Exercise 4 of Chapter 7
设 f:[0,1]\to [0,1]^2 是满射，且满足
|f(x)-f(y)| \le C|x-y|^{\gamma}. \\
证明：\gamma\le\dfrac{1}{2}．
【方法一】 考虑将 [0,1] 分成 n 等分：I_k=[\dfrac{k-1}{n},\dfrac{k}{n}]，k=1,2,\cdots,n．则对任意 x\in I_k，
\left|f(x)-f\Big(\dfrac{k}{n}\Big)\right|\le C\left|x-\frac{k}{n}\right|^{\gamma}\le C n^{-\gamma}. \\
即 f(I_k) 可以被圆心为 P_k:=f\Big(\dfrac{k}{n}\Big)、半径为 r=Cn^{-\gamma} 的圆盘 B_r(P_k) 覆盖．
而
f([0,1])=\bigcup\limits_{k=1}^nf(I_k)\subset \bigcup\limits_{k=1}^n B_r(P_k), \\
但是，\displaystyle\bigcup_{k=1}^nB_r(P_k) 的面积满足
\begin{aligned} &\quad\,\,\mathrm{Area}\left(\bigcup_{k=1}^nB_r(P_k)\right) \\ &\le \sum\limits_{k=1}^n\mathrm{Area}(B_r(P_k)) \\ &=n \pi r^ 2 =\pi C^2n^{1-2\gamma}. \end{aligned} \\
若 \gamma > \dfrac{1}{2}，则可取 n 充分大，使得 \pi C^2n^{1-2\gamma} < 1，此时 f([0,1]) 被一个面积严格小于 1 的区域覆盖，故 f 不是满射，与条件矛盾．
故必有 \gamma\le\dfrac{1}{2}．
【方法二】 用抽屉原理．
因为 f 是满射，则存在 (n+1)^2 个点 x_{i,j}(i,j=0,1,\cdots,n) 使得
f(x_{i,j})=(\dfrac{i}{n},\dfrac{j}{n}), \quad i,j=0,1,\cdots,n. \\
再将 [0,1] 分成 n^2 等分 [0,1]=\bigcup\limits_{k=1}^{n^2}J_k，其中 J_k=[\dfrac{k-1}{n^2},\dfrac{k}{n^2}]．
根据抽屉原理，在 \{x_{i,j}|i,j=0,1,\cdots,n\} 中有 (n+1)^2 个数，而 \{J_k|k=1,\cdots,n^2\} 有 n^2 个“抽屉”，故必有两个数位于同一个区间 J_k 中，记为 x_{i_1,j_1} 与 x_{i_2,j_2}．于是 x_{i_1,j_1},x_{i_2,j_2}\in J_k，故有
|x_{i_1,j_1}-x_{i_2,j_2}| \le \dfrac{1}{n^2}. \\
从而，
|f(x_{i_1,j_1})-f(x_{i_2,j_2})|\le C|x_{i_1,j_1}-x_{i_2,j_2}|^{\gamma}\le \dfrac{C}{n^{2\gamma}}. \\
但是另一方面，根据 \{x_{i,j}\} 的构造方式，\{f(x_{i,j})\} 均位于格点上，故必有
|f(x_{i_1,j_1})-f(x_{i_2,j_2})|\ge \dfrac{1}{n}, \\
所以 \dfrac{1}{n} \le \dfrac{C}{n^{2\gamma}}，即
n^{2\gamma-1}\le C. \\
若 \gamma > \dfrac{1}{2}，则当 n\to\infty 时，上式的左边 \to\infty，右边是有限数，产生矛盾．
故必有 \gamma\le\dfrac{1}{2}．
（1）上面的证明过程是非常初等的．本题往深来说可涉及到 “Hausdorff 维数”，具体可参见分形几何相关的书籍．
（2）回忆数学分析 A 中的练习题：设 f 是定义在 (-\infty,+\infty) 上的函数，满足 \forall x,y\in\mathbb{R}，
\vert f(x)-f(y)\vert \le\vert x-y\vert^{\gamma}. \\
其中实数 \gamma>1．则对任意的 x,y\in\mathbb{R} 以及任意的正整数 n，都有
\vert f(x)-f(y)\vert \le \dfrac{1}{n^{\gamma-1}}\vert x-y\vert^{\gamma}. \\
进而推导出 f(x) 必为常值函数．
（3）可以构造一条参数曲线 f:[0,1]\to[0,1]^2, t\mapsto f(t) 满足 f 是满射且
|f(t)-f(s)| \le C|t-s|^{1/2}, \\
这样的曲线叫做 Peano 曲线．具体可参见 Stein 书上的 7.3 节．